找规律计算分式

例：求1+1/(1+2)+1/(1+2+3)....1/(1+2+3+4.....20)=_________。

解析：

1、通过观察发现分母为等差数列之和，将算式做变换

1+1/(1+2)+1/(1+2+3)....1/(1+2+3+4.....20)=1+1/(1+2)×2×½+1/(1+3)×3×½....1/(1+20)×20×½

将最后一个数设为n，推导一个通用公式，这里n=20哈。算式可以变换为：

1+1/(1+2)×2×½+1/(1+3)×3×½....1/(1+n)×n×½=1+2/(1+2)×2+2/(1+3)×3....2/(1+n)×n

=1+2×(1/(1+2)×2+1/(1+3)×3....1/(1+n)×n)

=1+2×(1/2×3+1/3×4....1/n×(1+n))

由于1/n×(n+1)=1/n-1/(n+1)，所以上面的算式可以变换为：

1+2×(1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/n-1/(n+1))

=1+2×(1/2-1/(n+1))

=1+1-2/(n+1)

=2-2/(n+1)

=2n/(n+1)

n=20，所以，1+1/(1+2)+1/(1+2+3)....1/(1+2+3+4.....20)=2×20/(20+1)=40/21。